lập biểu thức xác định nhiệt dung của hệ mạng tinh thể lập phương

LINK DOWNLOAD MIỄN PHÍ TÀI LIỆU "lập biểu thức xác định nhiệt dung của hệ mạng tinh thể lập phương": http://123doc.vn/document/1051585-lap-bieu-thuc-xac-dinh-nhiet-dung-cua-he-mang-tinh-the-lap-phuong.htm

MỤC LỤC


Lời cảm ơn i
Lời nói đầu ii
PHẦN I. MỞ ĐẦU 1
I. Lý do chọn đề tài 1
II. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 1
1. Mục đích nghiên cứu 1
2. Nhiệm vụ nghiên cứu 1
III. Khách thể và đối tượng nghiên cứu 1
1. Khách thể nghiên cứu 1
2. Đối tượng nghiên cứu 1
IV. Phương pháp nghiên cứu 2
V. Phạm vi nghiên cứu 2
VI. Giả thuyết khoa học 2
VII. Đóng góp mới của đề tài 2
VIII. Bố cục c
ủa khóa luận 2
PHẦN II. NỘI DUNG 3
CHƯƠNG I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 3
I. Cấu trúc của mạng tinh thể 3
1. Mạng tinh thể 3
1.1. Cấu trúc tinh thể 3
1.2. Mạng không gian 3
1.3. Các tính chất đối xứng của mạng không gian 4
1.4. Phân loại mạng Bravais 6
1.4.1. Hệ lập phương 6
1.4.2. Hệ tứ giác 6
1.4.3. Hệ trực giao (còn gọi là hệ vuông góc) 7
1.4.4. Hệ trực thoi (hay hệ tam giác) 7
1.4.5. Hệ đơn tà 8
1.4.6. Hệ tam tà 8
1.4.7. Hệ lục giác 8
1.5. Sơ lượ
c về hệ mạng tinh thể lập phương 8
1.5.1. Mạng tinh thể lập phương đơn giản 9
1.5.2. Mạng tinh thể lập phương tâm khối 9


1.5.3. Mạng tinh thể lập phương tâm mặt 9
2. Mạng đảo 9
2.1. Khái niệm mạng đảo 9
2.2. Tính chất của các vectơ mạng đảo 10
2.3. Các tính chất của vectơ mạng đảo 10
2.4. Ô cơ sở của mạng đảo 10
2.5. Ý nghĩa vật lý của mạng đảo 11
3. Điều kiện tuần hoàn khép kín Born – Karman 11
II. Lý thuyết cổ điển về dao động mạng tinh thể 12
1. Dao động chuẩn của mạ
ng tinh thể 12
2. Bài toán dao động mạng 12
2.1. Dao động của mạng một chiều, một nguyên tử 14
2.1.1. Trường hợp q rất nhỏ (qa<<1) 16
2.1.2. Trường hợp
a
q
π
±= 16
2.2. Dao động của mạng một chiều, hai nguyên tử 17
3. Dao động mạng ba chiều 20
4. Tọa độ chuẩn 24
III. Lý thuyết lượng tử về dao động mạng tinh thể 27
1. Lượng tử hóa dao động mạng 27
2. Phonon 28
2.1. Phương pháp chuẩn hạt 28
2.2. Tính chất của chuẩn hạt 28
2.3. Phonon 29
2.4. Tính chất của phonon 29
CHƯƠNG II. THIẾT LẬP BIỂU THỨC TINH NHIỆT DUNG CỦA HỆ MẠNG
TINH THỂ LẬP PHƯƠNG. 31
I. Lý thuyết cổ điển về nhiệt dung 31
II. Lý thuyết lượng tử về nhiệt dung 32
1. Hàm phân bố Bose - Einstein 32
2. Lý thuyết Einstein 33
2.1. Trường hợp ở miền nhiệt độ cao 34
2.2. Trường hợp ở miền nhiệt độ thấp 34
3. Lý thuyết Debye 35
3.1. Trường hợp ở miền nhiệt độ cao 38


3.2. Trường hợp ở miền nhiệt độ thấp 39
III. Áp dụng công thức nhiệt dung cho mạng tinh thể lập phương 40
1. Áp dụng biểu thức nhiệt dung cho hệ mạng lập phương 40
2. Tính nhiệt dung mol của một số chất 43
IV. Giải thích một số hiện tượng vật lý trong chương trình phổ thông 43
1. Phân biệt chất rắn kết tinh và chất rắn vô định hình 43
2. Những tính chất nhiệt của vật r
ắn 45
2.1. Sự giãn nở vì nhiệt của vật rắn 45
2.2. Nhiệt dung mol vật rắn 46
PHẦN III. KẾT LUẬN 48
TÀI LIỆU THAM KHẢO 49
SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng

Khoá luận tốt nghiệp Trang 1
PHẦN I. MỞ ĐẦU

I. Lý do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết, các vật liệu trong tự nhiên hay đang được sử dụng hàng
ngày trong đời sống của con người, có thể tồn tại ở thể rắn, thể lỏng hoặc thể khí. Do
vậy, vật lý học cũng chia thành các chuyên ngành nghiên cứu sự vận động của vật
chất ở ba thể tồn tại trên. Trong cuộc cách mạng khoa học công nghệ hiện nay, ngành
vật lý chấ
t rắn đóng một vai trò đặc biệt quan trọng. Vật lý chất rắn đã tạo ra những
vật liệu cho các ngành kỹ thuật mũi nhọn như điện tử, du hành vũ trụ, năng lượng
nguyên tử,…Trong những năm gần đây, xuất hiện hàng loạt công trình về siêu dẫn
nhiệt độ cao, đặc biệt là công nghệ nanô làm cho vị trí của ngành vật lý chất rắn ngày
càng thêm nổi bật.
Vật lý chất rắn chủ yếu đề cập đến các tính chất vật lý tổng quát mà tập hợp nhiều
các nguyên tử và phân tử thể hiện trong sự sắp xếp một cách đều đặn và tạo thành
các tinh thể. Kể từ khi có sự ra đời của các lý thuyết lượng tử và các tiến bộ của khoa
học kỹ thuật thì vật lý chất rắn mới có được cơ sở vững chắ
c và thu được những kết
quả hết sức quan trọng về mặt ứng dụng cũng như lý thuyết.
Hiện nay, ở nước ta cùng với nhu cầu nghiên cứu và sử dụng các vật liệu rắn, đặc
biệt là vật liệu mới ngày càng tăng. Chính vì thế, mà ngành vật lý chất rắn đã được
phát triển rất nhanh trong những năm qua.
Trong khi học tập môn vật lý chất rắn, tôi thấy mình bị
lôi cuốn bởi môn học này,
nên tôi thấy mình cần phải tìm hiểu và khám phá hơn nữa về nó. Đặc biệt nhất là về:
cấu trúc tinh thể, hệ lập phương, các dao động mạng tinh thể và các tính chất nhiệt
của nó.
Chính vì những lý do trên, tôi quyết định chọn tên đề tài là: “ Lập biểu thức xác
định nhiệt dung của hệ mạng tinh thể lập phương” để nghiên cứu và có được hiểu
biết sâu rộng h
ơn về vấn đề này.
II. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
1. Mục đích nghiên cứu
Khảo sát tính chất nhiệt của hệ mạng tinh thể lập phương. Qua đó, giải thích một
số hiện tượng vật lý liên quan đến chất rắn được trình bày trong chương trình phổ
thông.
2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về cấu trúc tinh thể của hệ lập phương, dao động mạng tinh th
ể và các
tính chất nhiệt của vật rắn.
Lập biểu thức nhiệt dung của hệ mạng tinh thể lập phương.
III. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
1. Khách thể nghiên cứu
Hệ mạng tinh thể lập phương. Chương trình vật lý phổ thông.
2. Đối tượng nghiên cứu
Tính chất nhiệt và thiết lập biểu thức xác định nhiệt dung của hệ mạng tinh thể lập
phươ
ng.
SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng

Khoá luận tốt nghiệp Trang 2
IV. Phương pháp nghiên cứu
Trong khi thực hiện đề tài này, tôi có sử dụng một số phương pháp nghiên cứu sau
đây:
- Phương pháp đọc sách và tài liệu tham khảo.
- Phương pháp hệ thống hóa lý thuyết.
- Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết.
- Phương pháp gần đúng.
V. Phạm vi nghiên cứu
Thiết lập biểu thức tính nhiệt dung của hệ mạng tinh thể lập phương theo quan
điể
m năng lượng và chỉ xét đến đóng góp của dao động mạng vào tính chất nhiệt của
chất rắn.
VI. Giả thuyết khoa học
Bằng lý thuyết dao động mạng, có thể thiết lập được biểu thức tính nhiệt dung của
hệ mạng tinh thể lập phương và giải thích được một số hiện tượng vật lý liên quan
đến chất rắn trong chương trình Vật lý phổ thông.
VII. Dự ki
ến đóng góp của đề tài
Phát triển được hướng tiếp cận về tính chất nhiệt của mạng tinh thể lập phương.
Giải thích chính xác và hoàn chỉnh các tính chất vật lý liên quan đến chất rắn
trong chương trình vật lý phổ thông, làm tiền đề để nâng cao chất lượng dạy và học ở
phổ thông. Làm phong phú thêm tư liệu học tập về vật lý chất rắn.
VIII. Bố cục của khóa luậ
n
Bố cục của khóa luận gồm có 3 phần:
Phần I. Mở đầu (2 trang) trình bày về lý do chọn đề tài, mục đích và nhiệm vụ, đối
tượng và khách thể nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, giả
thuyết khoa học, đóng góp của đề tài và bố cục của khoá luận.
Phần II. Nội dung (43 trang) gồm hai chương.
Chương I. Cơ sở lý thuyết.
I. Cấu trúc của mạng tinh thể
.
II. Lý thuyết cổ điển về dao động mạng tinh thể.
III. Lý thuyết lượng tử về dao động mạng tinh thể.
Chương II. Thiết lập biểu thức xác định nhiệt dung của hệ mạng lập phương.
I. Lý thuyết cổ điển về nhiệt dung.
II. Lý thuyết lượng tử về nhiệt dung.
III. Áp dụng cho hệ mạng tinh thể lập phương.
IV. Giải thích một số
hiện tượng vật lý trong chương trình phổ thông.
Phần III. Kết luận (1 trang) trình bày kết quả đạt được và những hạn chế của khóa
luận.
SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng

Khoá luận tốt nghiệp Trang 3
PHẦN II. NỘI DUNG

CHƯƠNG I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
I. Cấu trúc của mạng tinh thể
1. Mạng tinh thể
Để mô tả cấu trúc tinh thể người ta dùng khái niệm mạng tinh thể và gắn một
nguyên tử hoặc một nhóm các nguyên tử gọi là cơ sở của mạng tinh thể đó. Trong
các tinh thể đơn giản nhất như đồng, bạc hay kim loại kiềm chẳng hạn đều có cấu
trúc chỉ một nguyên tử, trong các nguyên t
ử phức tạp hơn đơn vị có thể chứa một vài
nguyên tử hoặc phân tử.
1.1. Cấu trúc tinh thể
Cấu trúc tinh thể là dạng thực của tinh thể chất rắn nếu ta đặt nguyên tử hay nhóm
nguyên tử vào mỗi nút mạng hay gần mỗi nút mạng. Trong các tinh thể phân tử ở
mỗi nút mạng là mỗi phân tử có chứa hàng chục có khi hàng trăm nguyên tử. Nguyên
tử hoặc nhóm nguyên tử như vậy gọ
i là gốc.
Do đó, có thể viết một cách tượng trưng như sau:
Mạng không gian + gốc = Cấu trúc tinh thể
Trong không gian, các nguyên tử phân tử được sắp xếp một cách có trật tự đều
đặn, tuần hoàn trong không gian mạng tinh thể.
1.2. Mạng không gian
Trong các vật rắn, nguyên tử, phân tử được sắp xếp một cách đều đặn, tuần hoàn
trong không gian tạo thành mạng tinh thể. Ta bắt đầu bằng việc khảo sát tinh thể lí
tưởng, là tinh thể trong đó sự sắp xếp các nguyên tử, phân tử là hoàn toàn tuần hoàn.
Tinh thể lí tưởng phải hoàn toàn đồng nhất, nghĩa là mọi nơi, nó đều chứa những loại
nguyên tử như nhau, được phân bố như nhau. Tinh thể lí tưởng phải có kích thước
trải rộng vô hạn để không có mặt giới hạn làm ảnh hưởng đến tính chất sắp xếp tuyệt
đối tuần hoàn của các nguyên tử, phân tử
.
Có thể xây dựng nên tinh thể bằng cách lặp lại trong không gian theo một quy luật
nhất định các đơn vị cấu trúc giống nhau, gọi là các ô sơ cấp. Ở các tinh thể đơn giản
như tinh thể đồng, bạc, tinh thể kim loại kiềm, mỗi ô sơ cấp chỉ chứa một nguyên tử.
Ở các tinh thể phức tạp, có thể chứa nhiều nguyên tử, phân tử.
Để mô tả cấu trúc tinh thể, ta coi nh
ư nó gồm các ô sơ cấp lặp lại tuần hoàn trong
không gian. Gắn với mỗi đỉnh của ô sơ cấp là một nhóm các nguyên tử. Nhóm
nguyên tử đó gọi là gốc. Với tinh thể lí tưởng có thể coi như gồm các nguyên tử phân
bố trong mạng không gian.
Mạng không gian được xây dựng từ ba vectơ
1
a ,
2
a ,
3
a , gọi là ba vectơ tịnh tiến
cơ sở. Chúng có tính chất là khi khảo sát tinh thể từ một điểm tùy ý có bán kính
vectơ
r
, ta thấy nó giống hệt như khi ta khảo sát nó từ điểm có bán kính vectơ
'
r
:
'
r
=
r
+ n
1
1
a
+ n
2
2
a
+ n
3
3
a
(1.1.1)
Trong đó: n
1
, n
2
, n
3
là các số nguyên tùy ý.
SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng

Khoá luận tốt nghiệp Trang 4
Tập hợp các điểm có bán kính vectơ
'
r
(sau này gọi là điểm
'
r
) xác định theo
(1.1.1) với các giá trị khác nhau của n
1
, n
2
, n
3
lập thành mạng không gian. Các điểm
đó gọi là nút của mạng không gian.
Ba vectơ cơ sở
1
a
,
2
a
,
3
a
cũng đồng thời xác định các trục của hệ tọa độ trong
tinh thể. Nói chung, đó là hệ tọa độ không vuông góc. Hình hộp được tạo thành từ ba
vectơ cơ sở chính là ô sơ cấp.






Hình 1.1 Minh họa một số cách chọn các vectơ cơ sở cho mạng hai chiều.
Sự lựa chọn ba vectơ cơ sở, và do đó lựa chọn ô sơ cấp không phải là duy nhấ
t.
Hình vẽ 1.1 cho ta thấy một vài thí dụ về cách chọn các vectơ cơ sở và ô sơ cấp trong
mạng hai chiều.
Ngoài ra, trong nhiều trường hợp, còn có thể xây dựng ô sơ cấp sao cho nó có
dạng đối xứng trung tâm. Ô như vậy, gọi là ô Vicnơ – Daixơ (Wignet – Seitz). Các ô
này được giới hạn bởi các mặt phẳng trung trực của các đoạn thẳng nối nút mạng
đang xét với các nút mạng lân cận.
Như vậy, m
ạng lí tưởng là một khái niệm toán học, nó bao trùm toàn bộ không
gian, và có tính tuần hoàn trong không gian đặc trưng bằng vectơ
'
r
như trên. Từ
công thức (1.1.1) ta thấy chỉ cần biết các vectơ cơ sở thì ta có thể xác định được toàn
mạng.
Mạng tinh thể lí tưởng chỉ là hình ảnh trừu tượng hóa của những tinh thể có thực
trong tự nhiên hoặc nhân tạo. Tinh thể thực cũng có cấu trúc tuần hoàn, nhưng khác
với tinh thể lí tưởng ở chỗ: nó hữu hạn, nghĩa là có kích thước xác định; sự bố trí các
nhóm nguyên tử
ở các nút mạng không tuyệt đối giống hệt nhau mà có những sai
hỏng. Những sai hỏng này có thể xảy ra trong phạm vi một nút hay một tập hợp nút.
Ngoài ra, các nguyên tử không cố định mà thực hiện dao động quanh vị trí cân bằng
của chúng. Tuy nhiên, khái niệm mạng tinh thể lí tưởng giúp ta bước đầu hiểu được
bản chất dị hướng của các đặc trưng vật lý cũng như ảnh hưởng của cấu trúc tu
ần
hoàn lên các tính chất đó của tinh thể thực.
Mạng tinh thể được xác định bởi các chỉ số Miller (hkl). Chỉ số Miller cho phép
xác định đường thẳng mạng, mặt phẳng mạng và hướng của mạng tinh thể. Ngoài ra,
còn giúp ta xác định thể tích ô cơ sở.
1.3. Các tính chất đối xứng của mạng không gian
Tất cả các tinh thể đều có một tính chất chung là tính chất tuần hoàn tịnh tiến.
Ngoài ra, tùy vào các trường hợp c
ụ thể, chúng còn có (hoặc không có) các tính chất
đối xứng khác nữa. Phép đối xứng của tinh thể được định nghĩa chung như sau: Nếu
sau một phép biến đổi cứng rắn (không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất
2
a


1
a


1
a


1
a

2
a


1
a

2
a

2
a

2
a


1
a

SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng

Khoá luận tốt nghiệp Trang 5
°
°
°
° ° ° ° °
°
°
°°°°
°
° ° °
°°
2
π

×

×

Hình 1.2
kì trong tinh thể) nào đó mà mạng tinh thể chuyển sang một vị trí mới hoàn toàn
giống như vị trí cũ (chỉ có sự đổi chỗ của các nguyên tử cùng loại), thì phép biến đổi
này được gọi là phép đối xứng của tinh thể. Các phép biến đổi của mạng không gian
là: đối xứng với phép tịnh tiến, đối xứng với phép quay quanh một trục xác định, đối
xứng với phép nghịch đảo,
đối xứng với phép phản xạ qua một số mặt phẳng.
Đặc điểm cơ bản của mạng không gian là tính chất đối xứng của nó. Điều này
được thể hiện ở chỗ mạng bất biến đối với một số phép biến đổi, hay nói một cách
khác là mạng trùng lại với chính nó khi ta thực hiện một số phép biến đổi.
Mạng không gian có tính chất đối x
ứng tịnh tiến. Điều này ta thấy được khi thực
hiện một phép dịch chuyển toàn bộ mạng không gian đi một vectơ
R
, gọi là vectơ
tịnh tiến:
3
3
2
2
1
1
anananR ++=
(n
1
, n
2
, n
3
là những số nguyên). Sau phép dịch
chuyển này, một nút mạng nào đó đến chiếm vị trí của nút mạng khác. Toàn bộ mạng
không có gì thay đổi. Hai nút mạng bất kì được nối với nhau bằng vectơ tịnh tiến
R
.
Nếu ta lấy điểm gốc ở một nút mạng, thì
R
là vectơ vị trí của các nút mạng, gọi là
vectơ mạng.
Mạng không gian có tính đối xứng với phép quay quanh một số trục. Thật vậy, ta
hãy xét mạng vuông hai chiều như hình vẽ 1.2,
có thể coi nó như hình chiếu của mạng không
gian trên mặt phẳng, nghĩa là phía trên và phía
dưới của mặt phẳng hình vẽ ta có những mạng
vuông giống hệt như vậy. Khi ta quay mạng
một góc
2
π
(hay
4
1
vòng tròn) quanh trục
vuông góc với mặt phẳng, đi qua một nút mạng
(hoặc một trong các điểm có đánh dấu X như
trên hình vẽ 1.2, thì mạng lại trùng với chính
nó. Trục quay như vậy, gọi là trục quay bậc 4, và mạng đang xét đối xứng với phép
quay quanh trục bậc 4.
Mạng không gian chỉ có thể có trục quay bậc n = 2, 3, 4 và 6. Khi quay mạng một
góc
n
π
ϕ
2
= mạng lại trùng với chính nó. Không tồn tại các mạng có trục quay bậc 5,
bậc 7 hoặc cao hơn.
Mạng không gian có tính đối xứng nghịch
đảo. Phép nghịch đảo là phép biến đổi, trong đó
vectơ vị trí đổi dấu:
r
biến thành
r
−
. Như vậy,
mạng không gian có tâm đối xứng. Mạng vuông
hai chiều trên hình vẽ 1.2 bất biến với phép
nghịch đảo và có tâm đối xứng.
Mạng không gian có thể đối xứng với phép
phản xạ qua một số mặt phẳng. Phép nghịch đảo
chính là gồm một phép quay góc
π và phản xạ
qua mặt phẳng vuông góc với trục quay và đi
qua tâm đối xứng. Ở hình vẽ 1.3, ta có O là tâm
đối xứng, m là mặt phẳng phản xạ, C là trục

phản xạ
m
nghịch
đảo
A’’
O
A
A’
C
góc quay
π

Hình 1.3
SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng

Khoá luận tốt nghiệp Trang 6
quay góc π.
Các phép biến đổi đối xứng vừa nói đến ở trên, có thể cùng tồn tại ở một mạng
không gian. Tuy nhiên, thực tế chỉ đối xứng với một số trong các phép biến đổi đó.
1.4. Phân loại mạng Bravais
Dựa trên các tính chất đối xứng đối với nhóm tịnh tiến, các mạng Bravais được
phân chia ra làm 14 loại. Ngoài tính đối xứng
đối với nhóm tịnh tiến, mỗi mạng Bravais còn
có tính đối xứng đối với một nhóm điểm nào
đó. Các mạng có cùng một nhóm điểm tạo
thành một hệ. Căn cứ vào tính đối xứng với
các nhóm điểm khác nhau 14 mạng Bravais
được chia làm 7 hệ, ứng với 7 loại ô sơ c
ấp
khác nhau, đó là các hệ: lập phương, tứ giác,
trực giao, trực thoi, đơn tà, tam tà, lục giác.
Mỗi hệ được đặc trưng bởi quan hệ giữa các
vectơ cơ sở
321
,, aaa
và các góc α, β, γ giữa
các vectơ đó.
1.4.1. Hệ lập phương

Hệ lập phương có a
1
= a
2
= a
3
=a ;
0
90===
γβα
. Ô sơ cấp là hình lập phương.
Hệ có trục quay bậc 4 qua tâm của các mặt đối diện, bốn trục quay bậc 3 trùng với
các đường chéo chính của hình lập phương, sáu trục quay bậc 2 qua điểm giữa của
các cạnh đối diện, sáu mặt phẳng phản xạ đi qua các cạnh đối diện, ba mặt phẳng
phản xạ chứa trục bậc và song song với các mặt của hình hộp. Hệ l
ập phương có ba
loại mạng: lập phương đơn giản, lập phương tâm khối (hay còn gọi tâm thể), lập
phương tâm mặt (hay còn gọi tâm diện).
1.4.2. Hệ tứ giác
Hệ tứ giác có a
1
= a
2
≠ a
3
;
0
90===
γβα
. Ô sơ cấp có dạng hình lăng trụ
đứng, đáy vuông. Hai phương
1
a và
2
a tương đương nhau. Phương của
3
a phân
biệt với hai phương trên và gọi là phương c . Hệ có một trục quay bậc 4 theo phương
c , bốn trục quay bậc 2 vuông góc với trục bậc 4 và 5 mặt phẳng phản xạ. Hệ tứ giác
có hai loại mạng: tứ giác đơn và tứ giác tâm khối.
1
a
γ

2
a
Hình 1.4
β

α

3
a

Hệ lập phương: a
1
= a
2
= a
3
;
0
90===
γβα

đơn
tâm kh
ối
tâm mặt
Hình 1.5
SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng

Khoá luận tốt nghiệp Trang 7

1.4.3. Hệ trực giao (còn gọi là hệ vuông góc)
Hệ trực giao có a
1
≠ a
2
≠ a
3
;
0
90===
γβα
. Ô sơ cấp có dạng hình hộp chữ
nhật. Hệ có ba trục quay bậc 2 vuông góc với nhau và ba mặt phẳng phản xạ vuông
góc với các trục quay. Hệ trực giao có 4 loại mạng: trực giao đơn, trực giao tâm khối,
trực giao tâm đáy, trực giao tâm mặt.
1.4.4. Hệ trực thoi (hay hệ tam giác)

Hệ trực thoi có có a
1
= a
2
= a
3
;
0
90,, ≠
γβα
. Hệ có một trục quay bậc 3, ba trục
bậc 2, cắt nhau dưới góc 60
0
và ba mặt phẳng phản xạ nằm giữa các trục bậc 2. Hệ
chỉ có một loại mạng là mạng đơn.
Hệ tứ giác: a
1
= a
2
≠ a
3
;
0
90===
γβα

đơ
ntâm kh
ố
i
Hình 1.6
Hệ trực giao: a
1
≠ a
2
≠ a
3
;
0
90===
γβα

đơn
tâm kh
ối
tâm mặt tâm đáy
Hình 1.7
Hệ trực thoi:a
1
= a
2
= a
3
;
0
90,, ≠
γβα

Hình 1.8