Các chuyên đề số học

LINK DOWNLOAD MIỄN PHÍ TÀI LIỆU "Các chuyên đề số học": http://123doc.vn/document/546600-cac-chuyen-de-so-hoc.htm

Các chuyên đề số học
Bài 1 : CHNG MINH MT S KHễNG PHI L S CHNH
PHNG
Trong chng trỡnh Toỏn lp 6, cỏc em ó c hc v cỏc bi toỏn liờn quan ti phộp chia ht
ca mt s t nhiờn cho mt s t nhiờn khỏc 0 v c bit l c gii thiu v s chớnh phng, ú l
s t nhiờn bng bỡnh phng ca mt s t nhiờn (chng hn : 0 ; 1 ; 4 ; 9 ;16 ; 25 ; 121 ; 144 ; ).
Kt hp cỏc kin thc trờn, cỏc em cú th gii quyt bi toỏn : Chng minh mt s khụng phi l
s chớnh phng. õy cng l mt cỏch cng c cỏc kin thc m cỏc em ó c hc. Nhng bi toỏn
ny s lm tng thờm lũng say mờ mụn toỏn cho cỏc em.
1. Nhỡn ch s tn cựng
Vỡ s chớnh phng bng bỡnh phng ca mt s t nhiờn nờn cú th thy ngay s chớnh phng phi
cú ch s tn cựng l mt trong cỏc ch s 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9. T ú cỏc em cú th gii c bi toỏn
kiu sau õy :
Bi toỏn 1 : Chng minh s : n = 2004
2
+ 2003
2
+ 2002
2
- 2001
2
khụng phi l s chớnh phng.
Li gii : D dng thy ch s tn cựng ca cỏc s 20042 ; 20032 ; 20022 ; 20012 ln lt l 6 ;
9 ; 4 ; 1. Do ú s n cú ch s tn cựng l 8 nờn n khụng phi l s chớnh phng.
Chỳ ý : Nhiu khi s ó cho cú ch s tn cựng l mt trong cỏc s 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9 nhng vn
khụng phi l s chớnh phng. Khi ú cỏc bn phi lu ý thờm mt chỳt na :
Nu s chớnh phng chia ht cho s nguyờn t p thỡ phi chia ht cho p
2
.
Bi toỏn 2 : Chng minh s 1234567890 khụng phi l s chớnh phng.
Li gii : Thy ngay s 1234567890 chia ht cho 5 (vỡ ch s tn cựng l 0) nhng khụng chia
ht cho 25 (vỡ hai ch s tn cựng l 90). Do ú s 1234567890 khụng phi l s chớnh phng.
Chỳ ý : Cú th lý lun 1234567890 chia ht cho 2 (vỡ ch s tn cựng l 0), nhng khụng chia
ht cho 4 (vỡ hai ch s tn cựng l 90) nờn 1234567890 khụng l s chớnh phng.
Bi toỏn 3 : Chng minh rng nu mt s cú tng cỏc ch s l 2004 thỡ s ú khụng phi l s
chớnh phng.
Li gii : Ta thy tng cỏc ch s ca s 2004 l 6 nờn 2004 chia ht cho 3 m khụng chia ht 9
nờn s cú tng cỏc ch s l 2004 cng chia ht cho 3 m khụng chia ht cho 9, do ú s ny khụng phi
l s chớnh phng.
2. Dựng tớnh cht ca s d
Chng hn cỏc em gp bi toỏn sau õy :
Bi toỏn 4 : Chng minh mt s cú tng cỏc ch s l 2006 khụng phi l s chớnh phng.
Chc chn cỏc em s d b choỏng. Vy bi toỏn ny ta s phi ngh ti iu gỡ ? Vỡ cho gi
thit v tng cỏc ch s nờn chc chn cỏc em phi ngh ti phộp chia cho 3 hoc cho 9. Nhng li khụng
gp iu kỡ diu nh bi toỏn 3. Th thỡ ta núi c iu gỡ v s ny ? Chc chn s ny chia cho 3
phi d 2. T ú ta cú li gii.
Li gii : Vỡ s chớnh phng khi chia cho 3 ch cú s d l 0 hoc 1 m thụi (coi nh bi tp
cỏc em t chng minh !). Do tng cỏc ch s ca s ú l 2006 nờn s ú chia cho 3 d 2. Chng t
s ó cho khụng phi l s chớnh phng.
Tng t cỏc em cú th t gii quyt c 2 bi toỏn :
Bi toỏn 5 : Chng minh tng cỏc s t nhiờn liờn tip t 1 n 2005 khụng phi l s chớnh
phng.
Bi toỏn 6 : Chng minh s : n = 2004
4
+ 2004
3
+ 2004
2
+ 23 khụng l s chớnh phng.
Bõy gi cỏc em theo dừi bi toỏn sau ngh ti mt tỡnh hung mi.
Bi toỏn 7 : Chng minh s :
n = 4
4
+ 44
44
+ 444
444
+ 4444
4444
+ 15 khụng l s chớnh phng.
1
Các chuyên đề số học
Nhn xột : Nu xột n chia cho 3, cỏc em s thy s d ca phộp chia s l 1, th l khụng bt
chc c cỏch gii ca cỏc bi toỏn 3 ; 4 ; 5 ; 6. Nu xột ch s tn cựng cỏc em s thy ch s tn
cựng ca n l 9 nờn khụng lm tng t c nh cỏc bi toỏn 1 ; 2. S d ca phộp chia n cho 4 l d
thy nht, ú chớnh l 3. Mt s chớnh phng khi chia cho 4 s cho s d nh th no nh ? Cỏc em
cú th t chng minh v c kt qu : s d ú ch cú th l 0 hoc 1. Nh vy l cỏc em ó gii xong
bi toỏn 7.
3. Kp s gia hai s chớnh phng liờn tip
Cỏc em cú th thy rng : Nu n l s t nhiờn v s t nhiờn k tha món n
2
< k < (n + 1)
2
thỡ k
khụng l s chớnh phng. T ú cỏc em cú th xột c cỏc bi toỏn sau :
Bi toỏn 8 : Chng minh s 4014025 khụng l s chớnh phng.
Nhn xột : S ny cú hai ch s tn cựng l 25, chia cho 3 d 1, chia cho 4 cng d 1. Th l tt
c cỏc cỏch lm trc u khụng vn dng c. Cỏc em cú th thy li gii theo mt hng khỏc.
Li gii : Ta cú 2003
2
= 4012009 ; 2004
2
= 4016016 nờn 2003
2
< 4014025 < 2004
2
. Chng t
4014025 khụng l s chớnh phng.
Bi toỏn 9 : Chng minh A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) khụng l s chớnh phng vi mi s t
nhiờn n khỏc 0.
Nhn xột : i vi cỏc em ó lm quen vi dng biu thc ny thỡ cú th nhn ra A + 1 l s
chớnh phng (õy l bi toỏn quen thuc vi lp 8). Cỏc em lp 6, lp 7 cng cú th chu khú c li
gii.
Li gii : Ta cú :
A + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (n
2
+ 3n)(n
2
+ 3n + 2) + 1 = (n
2
+ 3n)
2
+ 2(n2 + 3n) +1 = (n
2
+
3n +1)
2
.
Mt khỏc :
(n
2
+ 3n)
2
< (n
2
+ 3n)
2
+ 2(n
2
+ 3n) = A.
iu ny hin nhiờn ỳng vỡ n 1. Chng t : (n
2
+ 3n)
2
< A < A + 1 = (n
2
+ 3n +1)
2
. => A khụng l s
chớnh phng.
Cỏc em cú th rốn luyn bng cỏch th gii bi toỏn sau :
Bi toỏn 10 : Hóy tỡm s t nhiờn n sao cho A = n
4
- 2n
3
+ 3n
2
- 2n l s chớnh phng.
Gi ý : Ngh n (n
2
- n + 1)
2
.
Bi toỏn 11 : Chng minh s 23
5
+ 23
12
+ 23
2003
khụng l s chớnh phng.
Gi ý : Ngh n phộp chia cho 3 hoc phộp chia cho 4.
Bi toỏn 12 : Cú 1000 mnh bỡa hỡnh ch nht, trờn mi mnh bỡa c ghi mt s trong cỏc s
t 2 n 1001 sao cho khụng cú hai mnh no ghi s ging nhau. Chng minh rng : Khụng th ghộp tt
c cỏc mnh bỡa ny lin nhau c mt s chớnh phng.
Bi toỏn 13 : Chng minh rng : Tng cỏc bỡnh phng ca bn s t nhiờn liờn tip khụng th
l s chớnh phng.
Gi ý : Ngh ti phộp chia cho 4.
Bi toỏn 14 : Chng minh rng s 333
333
+ 555
555
+ 777
777
khụng l s chớnh phng.
Gi ý : Ngh n phộp chia cho mt chc (?)
Bi toỏn 15 : Lỳc u cú hai mnh bỡa, mt cu bộ tinh nghch c cm mt mnh bỡa lờn li xộ ra
lm bn mnh. Cu ta mong rng c lm nh vy n mt lỳc no ú s c s mnh bỡa l mt s
chớnh phng. Cu ta cú thc hin c mong mun ú khụng ?
kt thỳc bi vit ny, tụi mun chỳc cỏc em hc tht gii mụn toỏn ngay t u bc THCS v cho tụi
c núi riờng vi cỏc quý thy cụ : nguyờn tc chung chng minh mt s t nhiờn khụng l s chớnh
phng, ú l da vo mt trong cỏc iu kin cn mt s l s chớnh phng (m nh cỏc quý thy
cụ ó bit : mi iu kin cn trờn i l dựng ph nh !). T ú cỏc quý thy cụ cú th sỏng to
thờm nhiu bi toỏn thỳ v khỏc.
2
Các chuyên đề số học
Bài 2 : CHNG MINH MT S L S CHNH PHNG
Cỏc bn ó c gii thiu cỏc phng phỏp chng minh mt s khụng phi l s chớnh phng
trong TTT2 s 9. Bi vit ny, tụi mun gii thiu vi cỏc bn bi toỏn chng minh mt s l s chớnh
phng.
Phng phỏp 1 : Da vo nh ngha.
Ta bit rng, s chớnh phng l bỡnh phng ca mt s t nhiờn. Da vo nh ngha ny, ta cú
th nh hng gii quyt cỏc bi toỏn.
Bi toỏn 1 : Chng minh : Vi mi s t nhiờn n thỡ a
n
= n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 l s chớnh
phng.
Li gii : Ta cú :
a
n
= n(n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1
= (n
2
+ 3n) (n
2
+ 3n + 2) + 1
= (n
2
+ 3n)
2
+ 2(n
2
+ 3n) + 1
= (n
2
+ 3n + 1)
2
Vi n l s t nhiờn thỡ n
2
+ 3n + 1 cng l s t nhiờn, theo nh ngha, a
n
l s chớnh phng.
Bi toỏn 2 : Chng minh s : l s chớnh phng.
Li gii :
Ta cú :
Vy : l s chớnh phng.
Phng phỏp 2 : Da vo tớnh cht c bit.
3
Các chuyên đề số học
Ta cú th chng minh mt tớnh cht rt c bit : Nu a, b l hai s t nhiờn nguyờn t cựng
nhau v a.b l mt s chớnh phng thỡ a v b u l cỏc s chớnh phng.
Bi toỏn 3 : Chng minh rng : Nu m, n l cỏc s t nhiờn tha món 3m
2
+ m = 4n
2
+ n thỡ m - n
v 4m + 4n + 1 u l s chớnh phng.
Li gii :
Ta cú : 3m
2
+ m = 4n2 + n
tng ng vi 4(m
2
- n2) + (m - n) = m
2

hay l (m - n)(4m + 4n + 1) = m
2
(*)
Gi d l c chung ln nht ca m - n v 4m + 4n + 1 thỡ (4m + 4n + 1) + 4(m - n) chia ht cho d => 8m
+ 1 chớ ht cho d.
Mt khỏc, t (*) ta cú : m
2
chia ht cho d
2
=> m chia ht cho d.
T 8m + 1 chia ht cho d v m chia ht cho d ta cú 1 chia ht cho d => d = 1.
Vy m - n v 4m + 4n + 1 l cỏc s t nhiờn nguyờn t cựng nhau, tha món (*) nờn chỳng u l cỏc s
chớnh phng. Cui cựng xin gi ti cỏc bn mt s bi toỏn thỳ v v s chớnh phng :
1) Chng minh cỏc s sau õy l s chớnh phng :
2) Cho cỏc s nguyờn dng a, b, c ụi mt nguyờn t cựng nhau, tha món : 1/a + 1/b = 1/c. Hóy cho
bit a + b cú l s chớnh phng hay khụng ?
3) Chng minh rng, vi mi s t nhiờn n thỡ 3
n
+ 4 khụng l s chớnh phng.
4) Tỡm s t nhiờn n n
2
+ 2n + 2004 l s chớnh phng.
5) Chng minh : Nu : v n l hai s t nhiờn thỡ a l s chớnh phng.
Bài 3 : TèM CH S TN CNG
Tỡm ch s tn cựng ca mt s t nhiờn l dng toỏn hay. a s cỏc ti liu v dng toỏn ny
u s dng khỏi nim ng d, mt khỏi nim tru tng v khụng cú trong chng trỡnh. Vỡ th cú
khụng ớt hc sinh, c bit l cỏc bn lp 6 v lp 7 khú cú th hiu v tip thu c.
Qua bi vit ny, tụi xin trỡnh by vi cỏc bn mt s tớnh cht v phng phỏp gii bi toỏn tỡm ch s
tn cựng, ch s dng kin thc THCS.
Chỳng ta xut phỏt t tớnh cht sau :
Tớnh cht 1 :
a) Cỏc s cú ch s tn cựng l 0, 1, 5, 6 khi nõng lờn ly tha bc bt kỡ thỡ ch s tn cựng vn
khụng thay i.
b) Cỏc s cú ch s tn cựng l 4, 9 khi nõng lờn ly tha bc l thỡ ch s tn cựng vn khụng
thay i.
c) Cỏc s cú ch s tn cựng l 3, 7, 9 khi nõng lờn ly tha bc 4n (n thuc N) thỡ ch s tn
cựng l 1.
d) Cỏc s cú ch s tn cựng l 2, 4, 8 khi nõng lờn ly tha bc 4n (n thuc N) thỡ ch s tn
cựng l 6.
Vic chng minh tớnh cht trờn khụng khú, xin dnh cho bn c. Nh vy, mun tỡm ch s tn cựng
ca s t nhiờn x = a
m
, trc ht ta xỏc nh ch s tn cựng ca a.
- Nu ch s tn cựng ca a l 0, 1, 5, 6 thỡ x cng cú ch s tn cựng l 0, 1, 5, 6.
4
Các chuyên đề số học
- Nu ch s tn cựng ca a l 3, 7, 9, vỡ a
m
= a
4n + r
= a
4n
.a
r
vi r = 0, 1, 2, 3 nờn t tớnh cht 1c => ch s
tn cựng ca x chớnh l ch s tn cựng ca a
r
.
- Nu ch s tn cựng ca a l 2, 4, 8, cng nh trng hp trờn, t tớnh cht 1d => ch s tn cựng ca x
chớnh l ch s tn cựng ca 6.a
r
.
Bi toỏn 1 : Tỡm ch s tn cựng ca cỏc s :
a) 7
99
b) 14
1414
c) 4
567
Li gii :
a) Trc ht, ta tỡm s d ca phộp chia 99 cho 4 :
9
9
- 1 = (9 - 1)(9
8
+ 9
7
+ + 9 + 1) chia ht cho 4
=> 99 = 4k + 1 (k thuc N) => 7
99
= 7
4k + 1
= 7
4k
.7
Do 7
4k
cú ch s tn cựng l 1 (theo tớnh cht 1c) => 7
99
cú ch s tn cựng l 7.
b) D thy 14
14
= 4k (k thuc N) => theo tớnh cht 1d thỡ 14
1414
= 14
4k
cú ch s tn cựng l 6.
c) Ta cú 5
67
- 1 chia ht cho 4 => 5
67
= 4k + 1 (k thuc N)
=> 4
567
= 4
4k + 1
= 4
4k
.4, theo tớnh cht 1d, 4
4k
cú ch s tn cựng l 6 nờn 4
567
cú ch s tn cựng l 4.
Tớnh cht sau c => t tớnh cht 1.
Tớnh cht 2 : Mt s t nhiờn bt kỡ, khi nõng lờn ly tha bc 4n + 1 (n thuc N) thỡ ch s tn
cựng vn khụng thay i.
Ch s tn cựng ca mt tng cỏc ly tha c xỏc nh bng cỏch tớnh tng cỏc ch s tn cựng ca
tng ly tha trong tng.
Bi toỏn 2 : Tỡm ch s tn cựng ca tng S = 2
1
+ 3
5
+ 4
9
+ + 2004
8009
.
Li gii :
Nhn xột : Mi ly tha trong S u cú s m khi chia cho 4 thỡ d 1 (cỏc ly tha u cú dng n
4(n - 2) + 1
,
n thuc {2, 3, , 2004}).
Theo tớnh cht 2, mi ly tha trong S v cỏc c s tng ng u cú ch s tn cựng ging nhau, bng
ch s tn cựng ca tng :
(2 + 3 + + 9) + 199.(1 + 2 + + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 = 200(1 + 2 + + 9) + 9 = 9009.
Vy ch s tn cựng ca tng S l 9.
T tớnh cht 1 tip tc => tớnh cht 3.
Tớnh cht 3 :
a) S cú ch s tn cựng l 3 khi nõng lờn ly tha bc 4n + 3 s cú ch s tn cựng l 7 ; s cú
ch s tn cựng l 7 khi nõng lờn ly tha bc 4n + 3 s cú ch s tn cựng l 3.
b) S cú ch s tn cựng l 2 khi nõng lờn ly tha bc 4n + 3 s cú ch s tn cựng l 8 ; s cú
ch s tn cựng l 8 khi nõng lờn ly tha bc 4n + 3 s cú ch s tn cựng l 2.
c) Cỏc s cú ch s tn cựng l 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nõng lờn ly tha bc 4n + 3 s khụng thay
i ch s tn cựng.
Bi toỏn 3 : Tỡm ch s tn cựng ca tng T = 2
3
+ 3
7
+ 4
11
+ + 2004
8011
.
Li gii :
Nhn xột : Mi ly tha trong T u cú s m khi chia cho 4 thỡ d 3 (cỏc ly tha u cú dng n
4(n - 2) + 3
,
n thuc {2, 3, , 2004}).
Theo tớnh cht 3 thỡ 2
3
cú ch s tn cựng l 8 ; 3
7
cú ch s tn cựng l 7 ; 4
11
cú ch s tn cựng l 4 ;

Nh vy, tng T cú ch s tn cựng bng ch s tn cựng ca tng : (8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) +
199.(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1 + 8 + 7 + 4 = 200(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 8 + 7 +
4 = 9019.
Vy ch s tn cựng ca tng T l 9.
* Trong mt s bi toỏn khỏc, vic tỡm ch s tn cựng dn n li gii khỏ c ỏo.
Bi toỏn 4 : Tn ti hay khụng s t nhiờn n sao cho n
2
+ n + 1 chia ht cho 1995
2000
.
5
Các chuyên đề số học
Li gii : 1995
2000
tn cựng bi ch s 5 nờn chia ht cho 5. Vỡ vy, ta t vn l liu n
2
+ n +
1 cú chia ht cho 5 khụng ?
Ta cú n
2
+ n = n(n + 1), l tớch ca hai s t nhiờn liờn tip nờn ch s tn cựng ca n
2
+ n ch cú th l 0 ;
2 ; 6 => n
2
+ n + 1 ch cú th tn cựng l 1 ; 3 ; 7 => n
2
+ n + 1 khụng chia ht cho 5.
Vy khụng tn ti s t nhiờn n sao cho n
2
+ n + 1 chia ht cho 1995
2000
.
S dng tớnh cht mt s chớnh phng ch cú th tn cựng bi cỏc ch s 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9, ta cú th
gii c bi toỏn sau :
Bi toỏn 5 : Chng minh rng cỏc tng sau khụng th l s chớnh phng :
a) M = 19
k
+ 5
k
+ 1995
k
+ 1996
k
(vi k chn)
b) N = 2004
2004k
+ 2003
S dng tớnh cht mt s nguyờn t ln hn 5 ch cú th tn cựng bi cỏc ch s 1 ; 3 ; 7 ; 9, ta tip
tc gii quyt c bi toỏn :
Bi toỏn 6 : Cho p l s nguyờn t ln hn 5. Chng minh rng : p
8n
+3.p
4n
- 4 chia ht cho 5.
* Cỏc bn hóy gii cỏc bi tp sau :
Bi 1 : Tỡm s d ca cỏc phộp chia :
a) 2
1
+ 3
5
+ 4
9
+ + 2003
8005
cho 5
b) 2
3
+ 3
7
+ 4
11
+ + 2003
8007
cho 5
Bi 2 : Tỡm ch s tn cựng ca X, Y :
X = 2
2
+ 3
6
+ 4
10
+ + 2004
8010

Y = 2
8
+ 3
12
+ 4
16
+ + 2004
8016

Bi 3 : Chng minh rng ch s tn cựng ca hai tng sau ging nhau :
U = 2
1
+ 3
5
+ 4
9
+ + 2005
8013

V = 2
3
+ 3
7
+ 4
11
+ + 2005
8015

Bi 4 : Chng minh rng khụng tn ti cỏc s t nhiờn x, y, z tha món :
19
x
+ 5
y
+ 1980z = 1975
430
+ 2004.
* Cỏc bn th nghiờn cu cỏc tớnh cht v phng phỏp tỡm nhiu hn mt ch s tn cựng ca mt s t
nhiờn, chỳng ta s tip tc trao i v vn ny.
* Tỡm hai ch s tn cựng
Nhn xột : Nu x N v x = 100k + y, trong ú k ; y N thỡ hai ch s tn cựng ca x cng
chớnh l hai ch s tn cựng ca y.
Hin nhiờn l y x. Nh vy, n gin vic tỡm hai ch s tn cựng ca s t nhiờn x thỡ thay vo ú
ta i tỡm hai ch s tn cựng ca s t nhiờn y (nh hn).
Rừ rng s y cng nh thỡ vic tỡm cỏc ch s tn cựng ca y cng n gin hn.
T nhn xột trờn, ta xut phng phỏp tỡm hai ch s tn cựng ca s t nhiờn x = a
m
nh sau :
Trng hp 1 : Nu a chn thỡ x = a
m
2
m
. Gi n l s t nhiờn sao cho a
n - 1
25.
Vit m = p
n
+ q (p ; q N), trong ú q l s nh nht a
q
4 ta cú :
x = a
m
= a
q
(a
pn
- 1) + a
q
.
Vỡ a
n - 1
25 => a
pn
- 1 25. Mt khỏc, do (4, 25) = 1 nờn a
q
(a
pn
- 1) 100.
Vy hai ch s tn cựng ca am cng chớnh l hai ch s tn cựng ca aq. Tip theo, ta tỡm hai
ch s tn cựng ca aq.
Trng hp 2 : Nu a l , gi n l s t nhiờn sao cho a
n - 1
100.
Vit m = u
n
+ v (u ; v N, 0 v < n) ta cú :
x = a
m
= a
v
(a
un
- 1) + a
v
.
Vỡ a
n
- 1 100 => a
un
- 1 100.
Vy hai ch s tn cựng ca a
m
cng chớnh l hai ch s tn cựng ca a
v
. Tip theo, ta tỡm hai ch
s tn cựng ca a
v
.
6
Các chuyên đề số học
Trong c hai trng hp trờn, chỡa khúa gii c bi toỏn l chỳng ta phi tỡm c s t
nhiờn n. Nu n cng nh thỡ q v v cng nh nờn s d dng tỡm hai ch s tn cựng ca a
q
v a
v
.
Bi toỏn 7 :
Tỡm hai ch s tn cựng ca cỏc s :
a) a
2003
b) 7
99

Li gii : a) Do 2
2003
l s chn, theo trng hp 1, ta tỡm s t nhiờn n nh nht sao cho 2
n
- 1
25.
Ta cú 2
10
= 1024 => 2
10
+ 1 = 1025 25 => 2
20
- 1 = (2
10
+ 1)(2
10
- 1) 25 => 2
3
(2
20
- 1) 100. Mt
khỏc :
2
2003
= 2
3
(2
2000
- 1) + 2
3
= 2
3
((2
20
)
100
- 1) + 2
3
= 100k + 8 (k N).
Vy hai ch s tn cựng ca 2
2003
l 08.
b) Do 7
99
l s l, theo trng hp 2, ta tỡm s t nhiờn n bộ nht sao cho 7
n
- 1 100.
Ta cú 7
4
= 2401 => 74 - 1 100.
Mt khỏc : 9
9
- 1 4 => 9
9
= 4k + 1 (k N)
Vy 7
99
= 7
4k + 1
= 7(7
4k
- 1) + 7 = 100q + 7 (q N) tn cựng bi hai ch s 07.
Bi toỏn 8 :
Tỡm s d ca phộp chia 3
517
cho 25.
Li gii : Trc ht ta tỡm hai ch s tn cựng ca 3
517
. Do s ny l nờn theo trng hp 2, ta
phi tỡm s t nhiờn n nh nht sao cho 3
n
- 1 100.
Ta cú 3
10
= 9
5
= 59049 => 3
10
+ 1 50 => 3
20
- 1 = (3
10
+ 1) (3
10
- 1) 100.
Mt khỏc : 5
16
- 1 4 => 5(5
16
- 1) 20
=> 5
17
= 5(5
16
- 1) + 5 = 20k + 5 =>3
517
= 3
20k + 5
= 3
5
(3
20k
- 1) + 3
5
= 3
5
(3
20k
- 1) + 243, cú hai ch s tn
cựng l 43.
Vy s d ca phộp chia 3
517
cho 25 l 18.
Trong trng hp s ó cho chia ht cho 4 thỡ ta cú th tỡm theo cỏch giỏn tip.
Trc tiờn, ta tỡm s d ca phộp chia s ú cho 25, t ú suy ra cỏc kh nng ca hai ch s tn cựng.
Cui cựng, da vo gi thit chia ht cho 4 chn giỏ tr ỳng.
Cỏc thớ d trờn cho thy rng, nu a = 2 hoc a = 3 thỡ n = 20 ; nu a = 7 thỡ n = 4.
Mt cõu hi t ra l : Nu a bt kỡ thỡ n nh nht l bao nhiờu ? Ta cú tớnh cht sau õy (bn c t
chng minh).
Tớnh cht 4 : Nu a N v (a, 5) = 1 thỡ a
20
- 1 25.
Bi toỏn 9 : Tỡm hai ch s tn cựng ca cỏc tng :
a) S
1
= 1
2002
+ 2
2002
+ 3
2002
+ + 2004
2002

b) S
2
= 1
2003
+ 2
2003
+ 3
2003
+ + 2004
2003

Li gii :
a) D thy, nu a chn thỡ a
2
chia ht cho 4 ; nu a l thỡ a
100
- 1 chia ht cho 4 ; nu a chia ht cho 5 thỡ a
2

chia ht cho 25.
Mt khỏc, t tớnh cht 4 ta suy ra vi mi a N v (a, 5) = 1 ta cú a100 - 1 25.
Vy vi mi a N ta cú a
2
(a
100
- 1) 100.
Do ú S
1
= 1
2002
+ 2
2
(2
2000
- 1) + + 2004
2
(2004
2000
- 1) + 2
2
+ 3
2
+ + 2004
2
.
Vỡ th hai ch s tn cựng ca tng S
1
cng chớnh l hai ch s tn cựng ca tng 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ +
2004
2
. ỏp dng cụng thc :
1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ + n
2
= n(n + 1)(2n + 1)/6
=>1
2
+ 2
2
+ + 2004
2
= 2005 x 4009 x 334 = 2684707030, tn cựng l 30.
7
Các chuyên đề số học
Vy hai ch s tn cựng ca tng S
1
l 30.
b) Hon ton tng t nh cõu a, S
2
= 1
2003
+ 2
3
(2
2000
- 1) + + 2004
3
(2004
2000
- 1) + 2
3
+ 3
3
+ 2004
3
. Vỡ
th, hai ch s tn cựng ca tng S
2
cng chớnh l hai ch s tn cựng ca 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ + 2004
3
.
ỏp dng cụng thc :
=> 1
3
+ 2
3
+ + 2004
3
= (2005 x 1002)
2
= 4036121180100, tn cựng l 00.
Vy hai ch s tn cựng ca tng S
2
l 00.
Tr li bi toỏn 5 (TTT2 s 15), ta thy rng cú th s dng vic tỡm ch s tn cựng nhn bit
mt s khụng phi l s chớnh phng. Ta cng cú th nhn bit iu ú thụng qua vic tỡm hai
ch s tn cựng.
Ta cú tớnh cht sau õy (bn c t chng minh).
Tớnh cht 5 : S t nhiờn A khụng phi l s chớnh phng nu :
+ A cú ch s tn cựng l 2, 3, 7, 8 ;
+ A cú ch s tn cựng l 6 m ch s hng chc l ch s chn ;
+ A cú ch s hng n v khỏc 6 m ch s hng chc l l ;
+ A cú ch s hng n v l 5 m ch s hng chc khỏc 2 ;
+ A cú hai ch s tn cựng l l.
Bi toỏn 10 : Cho n N v n - 1 khụng chia ht cho 4. Chng minh rng 7
n
+ 2 khụng th l s
chớnh phng.
Li gii : Do n - 1 khụng chia ht cho 4 nờn n = 4k + r (r {0, 2, 3}). Ta cú 7
4
- 1 = 2400 100.
Ta vit 7
n
+ 2 = 7
4k + r
+ 2 = 7
r
(7
4k
- 1) + 7
r
+ 2.
Vy hai ch s tn cựng ca 7
n
+ 2 cng chớnh l hai ch s tn cựng ca 7
r
+ 2 (r = 0, 2, 3) nờn ch cú
th l 03, 51, 45. Theo tớnh cht 5 thỡ rừ rng 7
n
+ 2 khụng th l s chớnh phng khi n khụng chia ht
cho 4.
* Tỡm ba ch s tn cựng
Nhn xột : Tng t nh trng hp tỡm hai ch s tn cựng, vic tỡm ba ch s tn cựng ca s
t nhiờn x chớnh l vic tỡm s d ca phộp chia x cho 1000.
Nu x = 1000k + y, trong ú k ; y N thỡ ba ch s tn cựng ca x cng chớnh l ba ch s tn cựng ca
y (y x).
Do 1000 = 8 x 125 m (8, 125) = 1 nờn ta xut phng phỏp tỡm ba ch s tn cựng ca s t nhiờn x
= a
m
nh sau :
Trng hp 1 : Nu a chn thỡ x = a
m
chia ht cho 2
m
. Gi n l s t nhiờn sao cho a
n
- 1 chia ht
cho 125.
Vit m = p
n
+ q (p ; q N), trong ú q l s nh nht a
q
chia ht cho 8 ta cú :
x = a
m
= a
q
(a
pn
- 1) + a
q
.
Vỡ a
n
- 1 chia ht cho 125 => a
pn
- 1 chia ht cho 125. Mt khỏc, do (8, 125) = 1 nờn a
q
(a
pn
- 1) chia ht
cho 1000.
Vy ba ch s tn cựng ca a
m
cng chớnh l ba ch s tn cựng ca a
q
. Tip theo, ta tỡm ba ch s tn
cựng ca a
q
.
Trng hp 2 : Nu a l , gi n l s t nhiờn sao cho a
n
- 1 chia ht cho 1000.
Vit m = u
n
+ v (u ; v N, 0 v < n) ta cú :
x = a
m
= a
v
(a
un
- 1) + a
v
.
Vỡ a
n
- 1 chia ht cho 1000 => a
un
- 1 chia ht cho 1000.
Vy ba ch s tn cựng ca a
m
cng chớnh l ba ch s tn cựng ca a
v
. Tip theo, ta tỡm ba ch s tn
cựng ca a
v
.
Tớnh cht sau c suy ra t tớnh cht 4.
8
Các chuyên đề số học
Tớnh cht 6 :
Nu a N v (a, 5) = 1 thỡ a
100
- 1 chia ht cho 125.
Chng minh : Do a
20
- 1 chia ht cho 25 nờn a
20
, a
40
, a
60
, a
80
khi chia cho 25 cú cựng s d l 1
=> a
20
+ a
40
+ a
60
+ a
80
+ 1 chia ht cho 5. Vy a
100
- 1 = (a
20
- 1)( a
80
+ a
60
+ a
40
+ a
20
+ 1) chia ht
cho 125.
Bi toỏn 11 :
Tỡm ba ch s tn cựng ca 123
101
.
Li gii : Theo tớnh cht 6, do (123, 5) = 1 => 123
100
- 1 chia ht cho 125 (1).
Mt khỏc :
123
100
- 1 = (123
25
- 1)(123
25
+ 1)(123
50
+ 1) => 123
100
- 1 chia ht cho 8 (2).
Vỡ (8, 125) = 1, t (1) v (2) suy ra : 123
100
- 1 chi ht cho 1000
=> 123
101
= 123(123
100
- 1) + 123 = 1000k + 123 (k N).
Vy 123
101
cú ba ch s tn cựng l 123.
Bi toỏn 12 :
Tỡm ba ch s tn cựng ca 3
399 98
.
Li gii : Theo tớnh cht 6, do (9, 5) = 1 => 9
100
- 1 chi ht cho 125 (1).
Tng t bi 11, ta cú 9
100
- 1 chia ht cho 8 (2).
Vỡ (8, 125) = 1, t (1) v (2) suy ra : 9
100
- 1 chia ht cho 1000 => 3
399 98
= 9
199 9
= 9
100p + 99
= 9
99
(9
100p
- 1)
+ 9
99
= 1000q + 9
99
(p, q N).
Vy ba ch s tn cựng ca 3
399 98
cng chớnh l ba ch s tn cựng ca 9
99
.
Li vỡ 9
100
- 1 chia ht cho 1000 => ba ch s tn cựng ca 9
100
l 001 m 9
99
= 9
100
: 9 => ba ch s tn
cựng ca 9
99
l 889 (d kim tra ch s tn cựng ca 9
99
l 9, sau ú da vo phộp nhõn
xỏc nh ).
Vy ba ch s tn cựng ca 3
399 98
l 889.
Nu s ó cho chia ht cho 8 thỡ ta cng cú th tỡm ba ch s tn cựng mt cỏch giỏn tip theo cỏc bc :
Tỡm d ca phộp chia s ú cho 125, t ú suy ra cỏc kh nng ca ba ch s tn cựng, cui cựng kim
tra iu kin chia ht cho 8 chn giỏ tr ỳng.
Bi toỏn 13 :
Tỡm ba ch s tn cựng ca 2004
200
.
Li gii : do (2004, 5) = 1 (tớnh cht 6)
=> 2004
100
chia cho 125 d 1
=> 2004
200
= (2004
100
)
2
chia cho 125 d 1
=> 2004
200
ch cú th tn cựng l 126, 251, 376, 501, 626, 751, 876. Do 2004
200
chia ht cho 8 nờn
ch cú th tn cựng l 376.
T phng phỏp tỡm hai v ba ch s tn cựng ó trỡnh by, chỳng ta cú th m rng tỡm nhiu hn ba
ch s tn cựng ca mt s t nhiờn.
Sau õy l mt s bi tp vn dng :
Bi 1 : Chng minh 1
n
+ 2
n
+ 3
n
+ 4
n
chia ht cho 5 khi v ch khi n khụng chia ht cho 4.
Bi 2 : Chng minh 9
20002003
, 7
20002003
cú ch s tn cựng ging nhau.
Bi 3 : Tỡm hai ch s tn cựng ca :
a) 3
999
b) 11
1213

Bi 4 : Tỡm hai ch s tn cựng ca :
S = 2
3
+ 2
23
+ + 2
40023

Bi 5 : Tỡm ba ch s tn cựng ca :
S = 1
2004
+ 2
2004
+ + 2003
2004

Bi 6 : Cho (a, 10) = 1. Chng minh rng ba ch s tn cựng ca a
101
cng bng ba ch s tn
cựng ca a.
Bi 7 : Cho A l mt s chn khụng chia ht cho 10. Hóy tỡm ba ch s tn cựng ca A
200
.
9
Các chuyên đề số học
Bi 8 : Tỡm ba ch s tn cựng ca s :
1993
19941995 2000

Bi 9 : Tỡm sỏu ch s tn cựng ca 5
21
.
Bài 4 : MT DNG TON V CLN V BCNN
Trong chng trỡnh s hc lp 6, sau khi hc cỏc khỏi nim c chung ln nht (CLN) v bi
chung nh nht (BCNN), cỏc bn s gp dng toỏn tỡm hai s nguyờn dng khi bit mt s yu t trong
ú cú cỏc d kin v CLN v BCNN.
Phng phỏp chung gii :
1/ Da vo nh ngha CLN biu din hai s phi tỡm, liờn h vi cỏc yu t ó cho tỡm hai s.
2/ Trong mt s trng hp, cú th s dng mi quan h c bit gia CLN, BCNN v tớch ca hai s
nguyờn dng a, b, ú l : ab = (a, b).[a, b], trong ú (a, b) l CLN v [a, b] l BCNN ca a v b. Vic
chng minh h thc ny khụng khú :
Theo nh ngha CLN, gi d = (a, b) => a = md ; b = nd vi m, n thuc Z
+
; (m, n) = 1 (*)
T (*) => ab = mnd
2
; [a, b] = mnd
=> (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd
2
= ab
=> ab = (a, b).[a, b] . (**)
Chỳng ta hóy xột mt s vớ d minh ha.
Bi toỏn 1 : Tỡm hai s nguyờn dng a, b bit [a, b] = 240 v (a, b) = 16. Li gii : Do vai trũ
ca a, b l nh nhau, khụng mt tớnh tng quỏt, gi s a b.
T (*), do (a, b) = 16 nờn a = 16m ; b = 16n (m n do a b) vi m, n thuc Z
+
; (m, n) = 1.
Theo nh ngha BCNN :
[a, b] = mnd = mn.16 = 240 => mn = 15
=> m = 1 , n = 15 hoc m = 3, n = 5 => a = 16, b = 240 hoc a = 48, b = 80.
Chỳ ý : Ta cú th ỏp dng cụng thc (**) gii bi toỏn ny : ab = (a, b).[a, b] => mn.16
2
=
240.16 suyy ra mn = 15.
Bi toỏn 2 : Tỡm hai s nguyờn dng a, b bit ab = 216 v (a, b) = 6.
Li gii : Lp lun nh bi 1, gi s a b.
Do (a, b) = 6 => a = 6m ; b = 6n vi m, n thuc Z
+
; (m, n) = 1 ; m n.
Vỡ vy : ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 tng ng mn = 6 tng ng m = 1, n = 6 hoc m = 2, n =
3 tng ng vi a = 6, b = 36 hocc l a = 12, b = 18.
Bi toỏn 3 : Tỡm hai s nguyờn dng a, b bit ab = 180, [a, b] = 60.
Li gii :
T (**) => (a, b) = ab/[a, b] = 180/60 = 3.
Tỡm c (a, b) = 3, bi toỏn c a v dng bi toỏn 2.
Kt qu : a = 3, b = 60 hoc a = 12, b = 15.
Chỳ ý : Ta cú th tớnh (a, b) mt cỏch trc tip t nh ngha CLN, BCNN : Theo (*) ta cú ab =
mnd
2
= 180 ; [a, b] = mnd = 60 => d = (a, b) = 3.
Bi toỏn 4 : Tỡm hai s nguyờn dng a, b bit a/b = 2,6 v (a, b) = 5.
Li gii : Theo (*), (a, b) = 5 => a = 5m ; b = 5n vi m, n thuc Z
+
; (m, n) = 1.
Vỡ vy : a/b = m/n = 2,6 => m/n = 13/5 tng ng vi m = 13 v n = 5 hay a = 65 v b = 25.
Chỳ ý : phõn s tng ng vi 2,6 phi chn l phõn s ti gin do (m, n) = 1.
Bi toỏn 5 : Tỡm a, b bit a/b = 4/5 v [a, b] = 140.
10
Các chuyên đề số học
Li gii : t (a, b) = d. Vỡ , a/b = 4/5 , mt khỏc (4, 5) = 1 nờn a = 4d, b = 5d.
Lu ý [a, b] = 4.5.d = 20d = 140 => d = 7 => a = 28 ; b = 35.
Bi toỏn 6 : Tỡm hai s nguyờn dng a, b bit a + b = 128 v (a, b) = 16.
Li gii : Lp lun nh bi 1, gi s a b.
Ta cú : a = 16m ; b = 16n vi m, n thuc Z
+
; (m, n) = 1 ; m n.
Vỡ vy : a + b = 128 tng ng 16(m + n) = 128 tng ng m + n = 8
Tng ng vi m = 1, n = 7 hoc m = 3, n = 5 hay a = 16, b = 112 hoc a = 48, b = 80
Bi toỏn 7 : Tỡm a, b bit a + b = 42 v [a, b] = 72.
Li gii : Gi d = (a, b) => a = md ; b = nd vi m, n thuc Z
+
; (m, n) = 1.
Khụng mt tớnh tng quỏt, gi s a b => m n.
Do ú : a + b = d(m + n) = 42 (1)
[a, b] = mnd = 72 (2)
=> d l c chung ca 42 v 72 => d thuc {1 ; 2 ; 3 ; 6}.
Ln lt thay cỏc giỏ tr ca d vo (1) v (2) tớnh m, n ta thy ch cú trng hp d = 6 => m +
n = 7 v mn = 12 => m = 3 v n = 4 . (tha món cỏc iu kin ca m, n). Vy d = 6 v a = 3.6 =
18 , b = 4.6 = 24
Bi toỏn 8 : Tỡm a, b bit a - b = 7, [a, b] = 140.
Li gii : Gi d = (a, b) => a = md ; b = nd vi m, n thuc Z
+
; (m, n) = 1.
Do ú : a - b = d(m - n) = 7 (1)
[a, b] = mnd = 140 (2)
=> d l c chung ca 7 v 140 => d thuc {1 ; 7}.
Thay ln lt cỏc giỏ tr ca d vo (1) v (2) tớnh m, n ta c kt qu duy nht :
d = 7 => m - n = 1 v mn = 20 => m = 5, n = 4
Vy d = 7 v a = 5.7 = 35 ; b = 4.7 = 28 .
Bi tp t gii :
1/ Tỡm hai s a, b bit 7a = 11b v (a, b) = 45.
2/ Tỡm hai s bit tng ca chỳng bng 448, CLN ca chỳng bng 16 v chỳng cú cỏc ch s hng n
v ging nhau.
3/ Cho hai s t nhiờn a v b. Tỡm tt c cỏc s t nhiờn c sao cho trong ba s, tớch ca hai s luụn chia
ht cho s cũn li.
Bài 5 : NGUYấN L I - RCH - Lấ
Nguyờn lớ i-rớch-lờ phỏt biu nh sau : Nu cú m vt t vo n cỏi ngn kộo v m > n thỡ cú ớt nht
mt ngn kộo cha ớt nht hai vt. Nguyờn lớ i-rớch-lờ ch giỳp ta chng minh c s tn ti ngn
kộo cha ớt nht hai vt m khụng ch ra c ú l ngn kộo no. Cỏc bn hóy lm quen vic vn
dng nguyờn lớ qua cỏc bi toỏn sau õy.
Bi toỏn 1 : Chng minh rng trong 11 s t nhiờn bt kỡ bao gi cng tn ti ớt nht 2 s cú hiu
chia ht cho 10.
Li gii :
Vi 11 s t nhiờn khi chia cho 10 ta c 11 s d, m mt s t nhiờn bt kỡ khi chia cho 10 cú 10 kh
nng d l 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ; 9.
Vỡ cú 11 s d m ch cú 10 kh nng d, theo nguyờn lớ i-rớch-lờ, tn ti ớt nht 2 s khi chia cho 10 cú
cựng s d do ú hiu ca chỳng chia ht cho 10 (pcm).
Bi toỏn 2 : Chng minh rng tn ti s cú dng 19941994 199400 0 chia ht cho 1995.
Li gii :
11
Các chuyên đề số học
Xột 1995 s cú dng : 1994 ; 19941994 ; ; .
Nu mt trong cỏc s trờn chia ht cho 1995 thỡ d dng cú pcm.
Nu cỏc s trờn u khụng chia ht cho 1995 thỡ khi chia tng s cho 1995 s ch cú 1994 kh nng d l
1 ; 2 ; 3 ; ; 1994.
Vỡ cú 1995 s d m ch cú 1994 kh nng d, theo nguyờn lớ i-rớch-lờ tn ti ớt nht 2 s khi chia cho
1995 cú cựng s d, hiu ca chỳng chia ht cho 1995. Gi s hai s ú l :
Khi ú : = 1994 199400 0 chia ht cho 1995 (pcm).
Bi toỏn 3 : Chng minh rng tn ti s t nhiờn k sao cho (1999^k - 1) chia ht cho104.
Li gii : Xột 104 + 1 s cú dng :
19991 ; 19992 ; ; 1999104 + 1.
Lp lun tng t bi toỏn 2 ta c :
(1999m - 1999n) chia ht cho 104 (m > n)
hay 1999n (1999m-n - 1) chia ht cho 104
Vỡ 1999n v 104 nguyờn t cựng nhau, do ú (1999m-n - 1) chia ht cho 104.
t m - n = k => 1999^k - 1 chia ht cho 104 (pcm).
Bi toỏn 4 : Chng minh rng tn ti mt s ch vit bi hai ch s chia ht cho 2003.
Li gii : Xột 2004 s cú dng 1 ; 11 ; 111 ; ;
Lp lun tng t bi toỏn 2 ta c :
hay 11 100 0 chia ht cho 2003 (pcm).
Mt s bi toỏn t gii :
Bi toỏn 5 : Chng minh rng mi s nguyờn t p ta cú th tỡm c mt s c vit bi hai
ch s chia ht cho p.
Bi toỏn 6 : Chng minh rng nu mt s t nhiờn khụng chia ht cho 2 v 5 thỡ tn ti bi ca
nú cú dng : 111 1.
Bi toỏn 7 : Chng minh rng tn ti s cú dng 1997k (k thuc N) cú tn cựng l 0001.
Bi toỏn 8 : Chng minh rng nu cỏc s nguyờn m v n nguyờn t cựng nhau thỡ tỡm c s t
nhiờn k sao cho mk - 1 chia ht cho n.
Cỏc bn hóy ún c s sau : Nguyờn lớ i-rớch-lờ vi nhng bi toỏn hỡnh hc thỳ v.
Bài 6 : NGUYấN L I-RCH-Lấ
& NHNG BI TON HèNH HC TH V
Nguyờn lớ cú th m rng nh sau : Nu cú m vt t vo n cỏi ngn kộo v m > k.n thỡ cú ớt nht
mt ngn kộo cha ớt nht k + 1 vt. Vi m rng ny, ta cũn cú th gii quyt thờm nhiu bi toỏn khỏc.
Sau õy xin gii thiu bn c lm quen vic vn dng nguyờn lớ i-rớch-lờ vi mt s bi toỏn hỡnh
hc.
Bi toỏn 1 : Trong tam giỏc u cú cnh bng 4 (n v di, c hiu n cui bi vit) ly
17 im. Chng minh rng trong 17 im ú cú ớt nht hai im m khong cỏch gia chỳng khụng vt
quỏ 1.
12
Các chuyên đề số học
Li gii : Chia tam giỏc u cú cnh bng 4 thnh 16 tam giỏc u cú cnh bng 1 (hỡnh 1). Vỡ 17
> 16, theo nguyờn lớ i-rớch-lờ, tn ti ớt nht mt tam giỏc u cnh bng 1 cú cha ớt nht 2 im trong
s 17 im ó cho. Khong cỏch gia hai im ú luụn khụng vt quỏ 1 (pcm).
Bi toỏn 2 : Trong mt hỡnh vuụng cnh bng 7, ly 51 im. Chng minh rng cú 3 im trong
51 im ó cho nm trong mt hỡnh trũn cú bỏn kớnh bng 1.
Li gii : Chia hỡnh vuụng cnh bng 7 thnh 25 hỡnh vuụng bng nhau, cnh ca mi hỡnh
vuụng nh bng 5/7 (hỡnh 2).
Vỡ 51 im ó cho thuc 25 hỡnh vuụng nh, m 51 > 2.25 nờn theo nguyờn lớ i-rớch-lờ, cú ớt nht mt
hỡnh vuụng nh cha ớt nht 3 im (3 = 2 + 1) trong s 51 im ó cho. Hỡnh vuụng cnh bng cú bỏn
kớnh ng trũn ngoi tip l :
Vy bi toỏn c chng minh. Hỡnh trũn ny chớnh l hỡnh trũn bỏn kớnh bng 1, cha hỡnh vuụng ta ó
ch ra trờn.
Bi toỏn 3 : Trong mt phng cho 2003 im sao cho c 3 im bt kỡ cú ớt nht 2 im cỏch
nhau mt khong khụng vt quỏ 1. Chng minh rng : tn ti mt hỡnh trũn bỏn kớnh bng 1 cha ớt
nht 1002 im.
Li gii : Ly mt im A bt kỡ trong 2003 im ó cho, v ng trũn C
1
tõm A bỏn kớnh bng
1.
+ Nu tt c cỏc im u nm trong hỡnh trũn C1 thỡ hin nhiờn cú pcm.
+ Nu tn ti mt im B m khong cỏch gia A v B ln hn 1 thỡ ta v ng trũn C
2
tõm B
bỏn kớnh bng 1.
Khi ú, xột mt im C bt kỡ trong s 2001 im cũn li. Xột 3 im A, B, C, vỡ AB > 1 nờn theo gi
thit ta cú AC 1 hoc BC 1. Núi cỏch khỏc, im C phi thuc C
1
hoc C
2
. => 2001 im khỏc B v
A phi nm trong C
1
hoc C
2
. Theo nguyờn lớ i-rớch-lờ ta cú mt hỡnh trũn cha ớt nht 1001 im. Tớnh
thờm tõm ca hỡnh trũn ny thỡ hỡnh trũn ny chớnh l hỡnh trũn bỏn kớnh bng 1 cha ớt nht 1002 im
trong 2003 im ó cho.
13
Các chuyên đề số học
Bi toỏn 4 : Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD, k 17 ng thng sao cho mi ng thng chia
ABCD thnh hai hỡnh thang cú t s din tớch bng 1/3 . Chng minh rng, trong 17 ng thng ú cú 5
ng thng ng quy.
Li gii : Gi M, Q, N, P ln lt l cỏc trung im ca AB, BC, CD, DA (hỡnh 3).
Vỡ ABCD l hỡnh bỡnh hnh => MN // AD // BC ; PQ // AB // CD.
Gi d l mt trong 17 ng thng ó cho. Nu d ct AB ti E ; CD ti F ; PQ ti L thỡ LP, LQ ln lt l
ng trung bỡnh ca cỏc hỡnh thang AEFD, EBCF. Ta cú :
S(AEFD) / S(EBCF) = 1/3 hoc S(EBCF) / S(EBFC) = 1/3 => LP / LQ = 1/3 hoc l LQ / LP = 1/3.
Trờn PQ ly hai im L
1
, L
2
tha món iu kin L
1
P / L
1
Q = L
2
Q / L
2
P = 1/3 khi ú L trựng vi L
1
hoc L
trựng vi L
2
. Ngha l nu d ct AB v CD thỡ d phi qua L
1
hoc L
2
.
Tng t, trờn MN ly hai im K
1
, K
2
tha món iu kin K
1
M / K
1
N = K
2
N / K
2
M = 1/3 khi ú nu d
ct AD v BC thỡ d phi qua K
1
hoc K
2
.
Túm li, mi ng thng trong s 17 ng thng ó cho phi i qua mt trong 4 im L
1
; L
2
; K
1
; K
2
.
Vỡ 17 > 4.4 nờn theo nguyờn lớ i-rớch-lờ, trong 17 ng thng ú s cú ớt nht 5 ng thng (5 = 4 +
1) cựng i qua mt trong 4 im L
1
; L
2
; K
1
; K
2
(5 ng thng ng quy, pcm).
Sau õy l mt s bi tp tng t.
Bi 1 : Trong hỡnh ch nht cú kớch thc 3 x 5, ly 7 im bt kỡ. Chng minh rng cú hai im
cỏch nhau mt khong khụng vt quỏ
Bi 2 : Trong mt phng ta , cho ng giỏc li cú tt c cỏc nh l cỏc im nguyờn (cú honh
v tung l s nguyờn). Chng minh rng trờn cnh hoc bờn trong ng giỏc cũn ớt nht mt im
nguyờn khỏc na.
Bi 3 : T giy hỡnh vuụng cú cnh bộ nht l bao nhiờu cú th ct ra c 5 hỡnh trũn cú bỏn
kớnh bng 1.
Bi 4 : Trờn mt t giy k ụ vuụng, chn 101 ụ bt kỡ. Chng minh rng trong 101 ụ ú cú ớt
nht 26 ụ khụng cú im chung.
Bài 7 : BN LUN V BI TON "BA V THN"
Chỳng ta u ó bit bi toỏn thỳ v : Ba v thn sau :
Ngy xa, trong mt ngụi n c cú 3 v thn ging ht nhau. Thn tht th (TT) luụn luụn núi tht, thn
di trỏ (DT) luụn luụn núi di v thn khụn ngoan (KN) lỳc núi tht lỳc núi di. Cỏc v thn vn tr li
14