Hàm số và đồ thị

LINK DOWNLOAD MIỄN PHÍ TÀI LIỆU "Hàm số và đồ thị": http://123doc.vn/document/544121-ham-so-va-do-thi.htm

X Y X Y
(c) (d)
X Y X Y
1
1 3
2
5
6
(e) (f)
Các quy tắc ở hình (c), (d), (e), (f) là các ánh xạ.
Chú ý: Với mỗi phần tử x thuộc X tơng ứng với một và chỉ một phần tử
y thuộc Y
Quy tắc ở hình (a), (b) không phải là ánh xạ.
Chú ý: Một ánh xạ f: X

Y sao cho x
1
, x
2
X mà f(x
1
) + f(x
2
) thì f đợc
gọi là đơn ánh hoặc ánh xạ ax 1. (VD: (c), (e), (f)).
Một ánh xạ f: X

Y sao cho y Y đều có tạo ảnh là toàn ánh hoặc ánh
xạ lên. (VD: (d), (e), (f)).
Một ánh xạ vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh gọi là song ánh. (VD: (e), (f))
hoặc ánh xạ 1 1.
II.3.2. Định nghĩa hàm số:
a) Nếu các tập hợp X và Y trong định nghĩa ánh xạ nói trên là các tập hợp số
thì ánh xạ đợc gọi là hàm số. Nh vậy, một hàm số từ tập số X đến tập số Y là một
quy tắc cho mỗi giá trị x X tơng ứng với một và chỉ một giá trị y Y.
Gọi hàm số là f, ta viết:
f:
X Y
x y f (x)=a
x: biến số
y = f(x) là giá trị của hàm số f tại x
X: tập nguồn (tập xác định của hàm số)
Y: tập đích (tập giá trị của hàm số)
5
Chú ý: a) X, Y đều là tập số (ánh xạ (f)) là một hàm số.
b) Có thể tồn tại những giá trị của y Y mà không có giá trị tơng ứng x
X, những không thể có một giá trị thuộc X mà không có giá trị nào tơng ứng thuộc
Y.
c) Quy tắc cho tơng ứng trong định nghĩa hàm số có thể đợc thể hiện bằng
ba cách:
* Dùng bảng
VD: x 1 2 3 4
y -2 -4 -6 -8
* Dùng công thức:
VD: y = 7x
* Dùng đồ thị:
d) Các ví dụ về hàm số:
* Các quy tắc sau đây cho ta một hàm số:
1) f: R

R
*
x
a
y =
4
x
2) f: N

R
x
a
y =
2x
3) f: N

R
x
a
y = x
3
4) X Y
2
2
-2
1
1
0
-1
* Các quy tắc sau đây không phải là hàm số:
1) f: R

R
x
a
y =
x
2) f: R

R
6
x
a
y =
4
x
3) X Y
An 1
5
Lê
3
Kỳ
4)
X Y
1
1
2
3
4 4
Xét hàm số f: X

Y (X, Y R)
* X đợc gọi là tập xác định của hàm số.
Tập X có vai trò quan trọng, nó quy định biến số x đợc lấy những giá trị
nào: do đó tập xác định là tập tất cả các giá trị của x sao cho có thể xác định đợc
giá trị tơng ứng của y.
Chúng ta cần chú ý tập xác định của các hàm số có dạng nh sau:
+) y =
a
f (x)
- Tập xác định là tập các giá trị của x làm cho f(x) 0
+) y =
f (x)
- Tập xác định là tập các giá trị của x làm cho f(x) 0
VD1: Với hàm số y =
4
x 2
Tập xác định D = R \ {2} (hay: x 2)
VD2: Với hàm số y =
2x
7
Tập xác định: x 0
* Theo định nghĩa của hàm số thì với mỗi x X, giá trị y = f(x) tơng ứng
của hàm số phải là một phần tử của Y. Tập Y có thể thay bởi một tập số rộng hơn.
Tập số rộng nhất ở cấp THCS là tập R. Vì thế ngời ra nói hàm số
f: X

R
x
a
y = f(x)
tức là nhấn mạnh hai yếu tố:
- Tập xác định của hàm số.
- Quy tắc xác định hàm số.
Còn tập rất quan trọng, ít đợc sử dụng trong chơng trình tính toán THCS đó
là tập giá trị của hàm số.
Tập giá trị của hàm số f(x) là tập hợp gồm tất cả các phần tử f(x) khi x chạy
khắp X. Đó là tập con của Y và đợc ký hiệu là f(x).
f(x) = {y Yy = f(x), x X}
VD1: Tìm tập giá trị của hàm số y =
3 x
Tập xác định: x 3
Tập giá trị: f(x) = R
+
= {y Ry 0}
VD2: Tìm tập giá trị của hàm số y = 2x
2
Tập xác định: x R
Tập giá trị: f(x) = R
+
= {y Ry 0}
II.3.3. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số giá trị tuyệt đối:
Giả sử y = f(x) là một hàm số xác định trên tập hợp D.
* Hàm số y = f(x) đợc gọi là hàm chẵn nếu:
f(x) = f(-x) với x D và D = [-a; a]
VD: y = x
2
là hàm chẵn
Vì: x = 1 y = 1; x = -1 y = 1
Hay x
2
= (-x)
2
* Hàm số y = f(x) đợc gọi là hàm lẻ nếu:
f(x) = - f(-x) với x D và D = [-a; a]
VD: y = x là hàm lẻ
Vì: x = 1 y = 1; x = -1 y = -1
8
Hay x = -(-x)
+) Nhận xét:
- Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
- Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc toạ độ O(0; 0) làm tâm đối xứng.
- Tổng đại số của hai hàm chẵn (hay lẻ) là một hàm chẵn )hay lẻ).
- Tích của hai hàm số chẵn hay hai hàm số lẻ là một hàm số chẵn. Còn
tích của một hàm số chẵn với một hàm số lẻ là một hàm số lẻ.
II.3.4. Sự biến thiên của hàm số:
Giả sử y = f(x) là một hàm số xác định trên D.
a) Hàm số y = f(x) đợc gọi là đồng biến trên D
nếu với x
1
, x
2
D: x
1
< x
2
y
1
= f(x
1
) < y
2
= f(x
2
)
b) b) Hàm số y = f(x) đợc gọi là nghịch biến trên D
nếu với x
1
, x
2
D: x
1
< x
2
y
1
= f(x
1
) > y
2
= f(x
2
)
Từ định nghĩa của hàm số đồng biến và nghịch biến trên D, suy ra các điều
kiện tơng đơng sau:
i) y = f(x) đồng biến trên D
2 1
2 1
y y
x x


> 0 với x
1
, x
2
D; x
1
x
2
ii) y = f(x) nghịch biến trên D
2 1
2 1
y y
x x


< 0 với x
1
, x
2
D; x
1
x
2
VD: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau:
1) Hàm số y = ax + b (a 0)
Xét tỷ số
2 1
2 1
y y
x x


=
2 1
2 1
(ax b) (ax b)
x x
+ +

2 1
2 1
y y
x x


=
2 1
2 1
ax ax
x x


=
2 1
2 1
a(x x )
x x


= a
+ Với a > 0, hàm số đồng biến.
VD: y = 2x + 3 có a = 2 > 0 Hàm số đồng biến
+ Với a < 0, hàm số nghịch biến.
VD: y = -2x + 1 có a = -2 < 0 Hàm số nghịch biến.
2) Hàm số y = ax
2
(a 0)
9
Xét tỷ số
2 1
2 1
y y
x x


=
2 2
2 1
2 1
ax ax
x x


2 1
2 1
y y
x x


=
2 2
2 1
2 1
a(x x )
x x


=
2 1 2 1
2 1
a(x x )(x x )
x x
+

= a(x
2
+ x
1
)
+ Với a > 0: x
1
, x
2
(0; + ): hàm số đồng biến.
x
1
, x
2
( ; 0): hàm số nghịch biến.
+ Với a < 0: x
1
, x
2
(0; + ): hàm số nghịch biến.
x
1
, x
2
( ; 0): hàm số đồng biến.
VD1: Hàm số y = 2x
2

Vì a = 2 > 0 nên:
- Với x > 0 hàm số đồng biến
- Với x < 0 hàm số nghịch biến
VD2: Hàm số y = -5x
2

Vì a = -5 < 0 nên:
- Với x > 0 hàm số nghịch biến
- Với x < 0 hàm số đồng biến
II.3.5. Đồ thị của hàm số:
Khi xét hàm số y = f(x), điều ta quan tâm là hàm số sẽ nhận giá trị nh thế
nào tơng ứng với mỗi giá trị của biến số x. Điều đó sẽ đợc phản ánh trên tập hợp tất
cả các cặp số (x; y), vì thế để nghiên cứu các hàm số, chúng ta cần nghiên cứu tập
hợp các cặp số (x; y).
Đồ thị của hàm số f: X

Y là tập con G = {(x; y)x X; y = f(x) Y}
Để phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh THCS, thay cho việc xét
khái niệm tích Đề-các tổng quát, ta chỉ xét các cặp số (x; y).
x; y R; x X; y Y
Đồ thị của hàm số f đợc định nghĩa là tập hợp tất cả các điểm có toạ độ (x; y
= f(x)) trong mặt phẳng toạ độ.
Để vẽ đợc đồ thị của hàm số y = f(x), trớc hết ta vẽ hệ trục toạ độ Đề-các
vuông góc Oxy, Ox là trục hoành, Oy là trục tung. Khi đó mỗi điểm M của mặt
10
phẳng đợc xác định bằng hai toạ độ: x hoành độ; y tung độ và ngợc lại mỗi
cặp toạ độ (x; y) xác định một điểm của mặt phẳng toạ độ.
Nói cách khác, hệ trục toạ độ Oxy xác định một song ánh giữa cặp số đợc
sắp (x; y) (x R; y R) với một điểm của mặt phẳng toạ độ.
Đồ thị của hàm số có thể là một tập hợp điểm rời rạc hay một tập đoạn đờng
cong, đờng thẳng Tuy nhiên, đa số đồ thị thờng gặp trong chơng trình THCS là
một tập hợp điểm, một đòng thẳng hay một đờng cong liền nét Để xác định đúng
dạng đồ thị của hàm số, thông thờng ta phải nghiên cứu trớc các tính chất của nó
và dựa vào tính chất ấy mà phác họa, sau đó mới chính xác hoá đồ thị bằng một số
điểm của nó.
II.3.5.1. Đồ thị của hàm số chẵn, đồ thị của hàm số lẻ:
II.3.5.1.1. Đồ thị của hàm số chẵn:
Ta đã biết đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng, vì vậy
ta chỉ vẽ với x 0, sau đó lấy đối xứng qua trục tung.
VD: Vẽ đồ thị hàm số y = x
2
y
Tập xác định: D = R
O x
II.3.5.1.2. Đồ thị của hàm số lẻ:
Ta đã biết đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng, vì vậy ta
chỉ vẽ với x 0, sau đó lấy đối xứng qua qua O(0; 0).
VD: Vẽ đồ thị hàm số y = 2x y
Tập xác định: D = R
O x
II.3.5.2. Các phép biến đổi đồ thị:
11
a) Phép tịnh tiến:
* Tịnh tiến theo trục hoành:
Đồ thị hàm số y = f(x b) đợc suy ra từ đồ thị hàm số y = f(x) bằng phơng
pháp tịnh tiến theo trục hoành.
+ Với b > 0, tịnh tiến theo hớng dơng của Ox.
+ Với b < 0, tịnh tiến theo hớng âm của Ox.
VD: Từ đồ thị hàm số y = x ta suy ra:
+ Đồ thị của hàm số y
1
= x + 1 bằng cách tịnh tiến theo chiều âm của trục
hoành đi 1 đơn vị.
+ Đồ thị của hàm số y
2
= x 2 bằng cách tịnh tiến theo chiều dơng của
trục hoành đi 2 đơn vị.
y
y
1
= x + 1
y = x
O x
y
2
= x 2
* Tịnh tiến theo trục tung:
Đồ thị hàm số y = f(x) + b đợc suy ra từ đồ thị hàm số y = f(x) bằng phơng
pháp tịnh tiến theo trục tung:
+ Với b > 0, tịnh tiến theo chiều dơng của trục Oy.
+ Với b < 0, tịnh tiến theo chiều âm của trục Oy.
VD: Từ đồ thị hàm số y = x
2
ta suy ra:
+ Đồ thị của hàm số y
1
= x
2
+ 1 bằng cách tịnh tiến theo chiều dơng của trục
tung đi 1 đơn vị.
+ Đồ thị của hàm số y
2
= x
2
2 bằng cách tịnh tiến theo chiều âm của trục
tung đi 2 đơn vị.
y
1
= x
2
+ 1 y
12
y = x
2
y
2
= x
2
2
O x
b) Phép đối xứng:
* Đối xứng qua trục hoành:
Đồ thị các hàm số y = f(x) và y = - f(x) đối xứng nhau qua trục hoành.
VD: Vẽ đồ thị hàm số y = 2x 1 và y = - 2x + 1
y
y = 2x 1
y = - 2x + 1
O x
* Đối xứng qua trục tung:
Đồ thị các hàm số y = f(x) và y = f(-x) đối xứng nhau qua trục tung.
VD: Vẽ đồ thị hàm số y = x + 3 và y = -x + 3
y y = x + 3
13
y = -x + 3
O x
II.3.6. Chơng trình đại số bậc THCS cần quan tâm:
II.3.6.1. Hàm số bậc nhất y = ax + b (a 0)
a) Tính chất:
+ Tập xác định: R
+ Chiều biến thiên: a > 0 hàm số đồng biến.
a < 0 hàm số nghịch biến.
b) Đồ thị:
Xuất phát từ đồ thị hàm số y = ax; đối với học sinh lớp 7 thì đồ thị hàm số y
= ax (a 0) là đờng thẳng đi qua gốc toạ độ O(0; 0) và điểm A(1; a). Đến lớp 9
học sinh suy ra đợc đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) bằng cách tịnh tiến theo trục
tung, là đờng thẳng đi qua P(0; b) và Q(
b
a

; 0) (P là giao điểm của đồ thị hàm số
với trục tung; Q là giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành).
Ta biết rằng qua hai điểm phân biệt ta luôn xác định đợc một và chỉ một đ-
ờng thẳng. Vì vậy để vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) tức là xác định đợc đờng
thẳng (d) có phơng trình y = ax + b, ta thờng xác định hai điểm P, Q nh ở trên. Tuy
nhiên để dễ dàng, thông thờng ta đi xác định hai điểm phân biệt thuộc đờng thẳng
(d) sao cho toạ độ của nó là những cặp số nguyên.
+ a đợc gọi là hệ số góc của đờng thẳng (d)
+ b đợc gọi là tung độ gốc của đờng thẳng (d)
Trong hệ trục toạ độ Đề-các vuông góc thì hệ số góc a của (d) là tang của
góc

tạo bởi đờng thẳng (d) với chiều dơng của trục Ox.
- Nếu a > 0: góc

là góc nhọn, a càng lớn thì

càng lớn nhng luôn nhỏ
hơn 90
O
.
14